设$f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$是可微函数，并且$f'$是有界的，证明$f$是一致连续的.

 

证明:设

  \begin{align*}

    a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots

  \end{align*}

是$\mathbf{R}$上的任意一个数列.设

  \begin{align*}

    b_1,b_2,\cdots,b_n,\cdots

  \end{align*}

是$\mathbf{R}$上的另一个数列，且满足

  \begin{align*}

    \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0

  \end{align*}

我们只用证明

  \begin{equation}\label{eq:123}

    \lim_{n\to\infty}(f(a_n)-f(b_n))=0

  \end{equation}

而根据微分中值定理，

  \begin{align*}

    |\frac{f(a_n)-f(b_n)}{a_n-b_n}|\leq M

  \end{align*}

因此很容易得到\ref{eq:123}成立.

 

 

注:该题可以推广成"设$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$满足李普希兹条件，则$f$是一致连续的."(感谢mathjgs,见下面评论)